Robotique & Géométrie Différentielle

Exploration des Groupes de Lie, Algèbres de Lie et Théorie des Vis

Cinématique et Groupes de Lie (Groupes de Lie)

En robotique moderne, la configuration d'un corps rigide est représentée par le groupe euclidien spécial $SE(3)$. Un élément $T \in SE(3)$ combine une rotation $R \in SO(3)$ et une translation $p \in \mathbb{R}^3$ :

$$ T = \begin{bmatrix} R & p \\ 0 & 1 \end{bmatrix} $$

La Représentation Adjointe (Adjoint Representation)

L'application adjointe $Ad_T$ nous permet de transformer les vitesses spatiales (twists) d'un référentiel à un autre. Pour une matrice de transformation $T$, la matrice adjointe est définie par :

$$ Ad_T = \begin{bmatrix} R & 0 \\ [p]R & R \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{6 \times 6} $$

Théorie des Vis (Screw Theory)

Selon le théorème de Mozzi-Chasles, tout mouvement rigide peut être décrit comme un mouvement de "vis" (screw motion). L'application exponentielle (Exponential Map) relie l'algèbre de Lie $\mathfrak{se}(3)$ au groupe $SE(3)$ :

$$ \exp : \mathfrak{se}(3) \to SE(3) ; \quad T = e^{[\mathcal{S}]\theta} $$

Ici, $\mathcal{S}$ représente les coordonnées de la vis (screw coordinates) et $\theta$ est l'amplitude du déplacement.